Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số \[y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}\] trên đoạn \[\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]\].

Đáp án C

Hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 2}}\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]\).

Ta có \(y' = \frac{{{x^2} + 2{\rm{x}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}};{\rm{ y'}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2{\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ { - \frac{1}{2};2} \right]\\x = - 2 \notin \left[ { - \frac{1}{2};2} \right]\end{array} \right.\).

Lại có \(y\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{5}{2};{\rm{ y}}\left( 0 \right) = 2;{\rm{ y}}\left( 2 \right) = \frac{3}\). Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{1}{2};2} \right]} y = y\left( 2 \right) = \frac{3} = M\).