Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để bất phương trình \[{\log _2}\left( {7{x^2} + 7} \right) \ge {\log _2}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\] nghiệm đúng với mọi x.

Đáp án D

\({\log _2}\left( {7{{\rm{x}}^2} + 7} \right) \ge {\log _2}\left( {m{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + m} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + m > 0\\7{{\rm{x}}^2} + 7 \ge m{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + m > 0\\\left( {7 - m} \right){x^2} - 4{\rm{x}} + 7 - m \ge 0\end{array} \right.\).

Bất phương trình \({\log _2}\left( {7{{\rm{x}}^2} + 7} \right) \ge {\log _2}\left( {m{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + m} \right)\) nghiệm đúng với mọi x khi và chi khi

\(\left\{ \begin{array}{l}m{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + m > 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\\\left( {7 - m} \right){x^2} - 4{\rm{x}} + 7 - m \ge 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\) nghiệm đúng với mọi x thực.

Khi \(m = 0\) thì (1) trở thành \(4{\rm{x}} > 0 \Leftrightarrow x > 0 \Rightarrow m = 0\) không thỏa mãn.

Khi \(m = 7\) thì (2) trở thành \( - 4{\rm{x}} \ge 0 \Leftrightarrow x \le 0 \Rightarrow m = 7\) không thỏa mãn.

Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}m{{\rm{x}}^2} + 4{\rm{x}} + m > 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\\\left( {7 - m} \right){x^2} - 4{\rm{x}} + 7 - m \ge 0{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\) nghiệm đúng với mọi x khi

\(\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\4 - {m^2} < 0\\7 - m > 0\\4 - {\left( {7 - m} \right)^2} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m < 7\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 2\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 9\\m \le 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m \le 5\). Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {3;4;5} \right\}\) nên có 3 giá trị.