Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\)có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(B\) và \(A'A = A'B = A'C\). Biết rằng \(AB = 2a\), \(BC = \sqrt 3 a\) và mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \({45^0}\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng:

Đáp án C

Phương pháp giải:

- Vì \[A'A = A'B = A'C\] nên hình chiếu vuông góc của \[A'\] lên \[\left( {ABC} \right)\] trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp \[\Delta ABC\].

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông hoặc tính chất tam giác vuông cân tính chiều cao của lăng trụ.

- Thể tích khối lăng trụ có chiều cao \[h\], diện tích đáy \[B\] là \[V = Bh\].

Giải chi tiết:

Gọi \(M,{\mkern 1mu} N\) lần lượt là trung điểm của \(AC,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} BC\).

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) nên \(M\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\), lại có \(A'A = A'B = A'C\) nên hình chiếu vuông góc của \(A'\) lên \(\left( {ABC} \right)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

\( \Rightarrow A'M \bot \left( {ABC} \right)\)

Ta có: \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ABC \Rightarrow MN//AB\).

\( \Rightarrow MN \bot AC\) và \(MN = \frac{1}{2}AB = a\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AC \bot MN}\\{AC \bot A'M}\end{array}} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {A'MN} \right) \Rightarrow AC \bot A'N\)

\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'N;MN} \right) = \angle A'NM = {45^0}\)

\( \Rightarrow \Delta A'MN\) vuông cân tại \(M\) \( \Rightarrow A'M = MN = a\)

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'M.{S_{\Delta ABC}} = A'M.\frac{1}{2}AB.BC = a.\frac{1}{2}.2a.a\sqrt 3 = \sqrt 3 {a^3}\).