Hai hình bình hành \(ABCD\) và \(ABEF\) không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(M\) và trên cạnh \(BF\) lấy điểm \(N\) sao cho \(\frac = \frac = k\). Tìm \(k\) để \(MN//DE\).

Đáp án A

Phương pháp giải:

- Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(S = DM \cap AB\). Trong \(\left( {ABEF} \right)\) gọi \(S' = EN \cap AB\).

- Sử dụng định lí: Giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt thì đồng quy hoặc đôi một song song chứng minh \(S \equiv S'\).

- Sử dụng định lí Ta-lét.

Giải chi tiết:

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) gọi \(S = DM \cap AB\). Trong \(\left( {ABEF} \right)\) gọi \(S' = EN \cap AB\).

Để \(MN//DE\) thì \(M,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} N,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} D,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} E\) đồng phẳng.

Khi đó ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {MNDE} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MS}\\{\left( {MNDE} \right) \cap \left( {ABEF} \right) = ES'}\\{\left( {ABCD} \right) \cap \left( {ABEF} \right) = AB}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow MS,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ES',{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AB\) đồng quy.

\( \Rightarrow S \equiv S'\) hay \(DM,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} EN,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} AB\) đồng quy tại \(S\).

Khi đó ta có hình vẽ như sau:

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac = \frac = \frac\); \[\frac = \frac{{BS'}} = \frac\].

Theo bài ra ta có: \[\frac = \frac \Rightarrow \frac = \frac\]\[ \Rightarrow \frac = \frac\]

Từ đó suy ra \[\frac = \frac \Rightarrow AS = BS\] \[ \Rightarrow S\] là trung điểm của \[AB\].

Khi đó ta có: \[\frac = \frac = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac = \frac{1} \Rightarrow \frac = \frac{1}{3}\].

Vậy \[k = \frac{1}{3}\].