Trong không gian Oxyz cho ba đường thẳngd1:x−12=y+12=z−11,d2:x1=y−1−2=z+12,d3:x−32=y+2−1=z+1−2. Mặt phẳng (P):ax+by+cz−1=0 với a,b nguyên dương, đi qua M(2;0;1) và cắt 3 đường thẳng trên tại ba điểm lả ba đỉnh của một tam giác đều. Hỏi (P) đi qua điểm nào sau đây?

Chọn A

Phương pháp giải:

- Xác định các VTCP của d1, d2, d3 lần lượt là u1,u2,u3.

- Chứng minh 3 đường thẳng đã cho đôi một vuông góc và đồng quy tại .

- Chứng minh chóp ABCD là chóp tam giác đều.

- Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, chứng minh n→=AB→+AC→+AD→ là một VTPT của (P).

- Giải hệ nP→=ku1→±u2→±u3→, thử các trường hợp tìm . Từ đó suy ra phương trình mặt phẳng (P) và xác định điểm thuộc (P).

Giải chi tiết:

Ta có các VTCP của d1, d2, d3 lần lượt là: u1→=(2;2;1),u2→=(1;−2;2),u3→=(2;−1;−2).

Ta có: u1→.u2→=u2→.u3→=u1→.u3→=0

Suy ra ba đường thẳng đã cho đôi một vuông góc.

Lại có A(1;−1;1) nằm trên cả ba đường thẳng đã cho, nên chúng đồng quy tại .

Vì M∈(P)⇔2a+c−1=0⇔c=1−2a, suy ra (P) nhận nP→=(a;b;1−−2a) làm VTPT.

Giả sử (P) cắt ba đường thẳng đã cho lần lượt tại B, C, D thì tam giác BCD đều.

Khi đó ABCD là tứ diện vuông, chóp ABCD là chóp đều.

Gọi H là trọng tâm tam giác BCD⇒AH⊥(BCD) hay AH⊥(P) và AH→=13(AB→+AC→+AD→).

⇒n→=AB→+AC→+AD→ là một VTPT của (P).

Thử các trường hợp, ta có (a;b;1−2a)=(1;1;−1)⇒(P):x+y−z−1=0.

Vậy mặt phẳng (P) đi qua điểm (1;3;3).