Người ta cần trồng hoa tại phần đắt nằm phía ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ O , bán kính bằng \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\)và phía trong của Elip có độ dài trục lớn bằng \(2\sqrt 2 \)và độ dài trục nhỏ bằng 2 (như hình vẽ bên). Trong mỗi một đơn vị diện tích cần bón \(\frac{{\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)\pi }}kg\) phân hữu cơ. Hỏi cần sử dụng bao nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa?

Phương trình elip:\[\frac{{{x^2}}}{{{{(\sqrt 2 )}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\]

Ta có :\[y = \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{2}} \] (nửa trên của elip)

Diện tích của elip là: \[S = 4\mathop \smallint \nolimits_0^{\sqrt 2 } \sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{2}} dx\]

Đặt\[x = \sqrt 2 \cos a \Rightarrow 1 - \frac{{{x^2}}}{2} = {\sin ^2}a\]

Suy ra:\[dx = - \sqrt 2 \sin ada\]

Đổi cận\[x = \sqrt 2 \Rightarrow a = 0,x = 0\]thì\[a = \frac{\pi }{2}\]

\({S_1} = \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^0 { - \sqrt 2 si{n^2}ada = } \frac{{\sqrt 2 }}{2}\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^0 {(cos2a - 1)da} \)

\( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{1}{2}sin2a - a} \right)\left| {_0^{\frac{\pi }{2}}} \right. = \frac{{\sqrt 2 \pi }}{4}\)

\[ \Rightarrow S = 4{S_1} = \sqrt 2 \pi \]

Diện tích hình tròn là :\[S' = \pi {R^2} = \pi .\frac{1}{2} = \frac{1}{2}\pi \]

Diện tích trồng hoa: \[{S_b} = \pi \left( {\sqrt 2 - \frac{1}{2}} \right)\]

Số kg phân bón là :\[\frac{{\left( {2\sqrt 2 - 1} \right)\pi }}.\left( {\sqrt 2 - \frac{1}{2}} \right)\pi = 50kg\]

Đáp án cần chọn là: C