Cho hình phẳng giới hạn bởi \[D = \left\{ {y = \tan x;\,\,y = 0;\,\,x = 0;\,\,x = \frac{\pi }{3}} \right\}.\] Thể tích vật tròn xoay khi D quay quanh trục Ox là \[V = \pi (a - \frac{\pi }{b}),\;\] với a,b∈R.. Tính \[T = {a^2} + 2b.\].

Thể tích vật tròn xoay cần tính là\[V = \pi \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\tan ^2}x\,{\rm{d}}x = \pi \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{3}} \left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)\,{\rm{d}}x.\]

\[\begin{array}{l} = \pi (tanx - x)\left| {_0^{\frac{\pi }{3}}} \right. = \pi \left( {\sqrt 3 - \frac{\pi }{3}} \right) = \pi \left( {a - \frac{\pi }{3}} \right)\\ \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \sqrt 3 }\\{b = 3}\end{array}} \right.\end{array}\]

Vậy \[T = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + 2.3 = 9.\]

Đáp án cần chọn là: B