Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \({\rm{Oxy}}\), cho đường tròn \(\left( {\rm{C}} \right):{{\rm{x}}^2} + {{\rm{y}}^2} + 4{\rm{x}} - 6{\rm{y}} + 5 = 0\). Đường thẳng d đi qua \[{\rm{A}}\left( {3\,;\,\,2} \right)\] và cắt \(\left( {\rm{C}} \right)\) theo một dây cung ngắn nhất có phương trình là

Đặt \(f\left( {x;\,\,y} \right) = {x^2} + {y^2} - 4x - 6y + 5\).

Ta có \({\rm{f}}\left( {3\,;\,\,2} \right) = 9 + 4 - 12 - 12 + 5 =  - 6 < 0\).

Nên \({\rm{A}}\left( {3\,;\,\,2} \right)\) ở trong (C).

Dây cung \({\rm{MN}}\) ngắn nhất thì \({\rm{IH}}\) lớn nhất.

\( \Leftrightarrow {\rm{H}} \equiv {\rm{A}} \Leftrightarrow {\rm{MN}}\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{\rm{IA}}}  = (1; - 1)\).

Vậy \(d\) có phương trình: \(1\left( {x - 3} \right) - 1\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - 1 = 0\). Chọn C.