Biến n là số nguyên dương thỏa mãn \(A_n^3 + 2A_n^2 = 100\). Hệ số của x⁵ trong khai triển (1 – 3x)ⁿ bằng

Đáp án đúng là: A

ĐK: n ≥ 3; n \( \in \) ℕ.

Ta có: \(A_n^3 + 2A_n^2 = 100\)

\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 2.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 100\)\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 2.\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 100\)

\( \Leftrightarrow \)n(n – 1)(n – 2) + 2n(n – 1) = 100 \( \Leftrightarrow \)n³ – n² – 100 = 0\( \Leftrightarrow \)n = 5

Khi đó: \({\left( {1 - 3x} \right)^n} = {\left( {1 - 3x} \right)^5}\)

Ta có số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức (a + b)ⁿ là \(C_n^k\)a^{n - k}b^k

Thay a = 1 , b = – 3x vào công thức ta có

\(C_5^k\)1^5-k (– 3x)^k = – 3^k\(C_5^k\)x^k

Cần tìm hệ số của x⁵ nên ta có k = 5

Hệ số cần tìm là : – 3⁵\(C_5^5\) = – 243.