Cho hàm số \({\rm{f}}\left( x \right)\), hàm số \({\rm{y}} = {\rm{f'}}\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình \({\rm{f}}({\rm{x}}) > 2{\rm{x}} + {\rm{m}}\) \({\rm{(m}}\) là tham số thực) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {0\,;\,\,2} \right)\) khi và chỉ khi

Ta có \({\rm{f}}\left( x \right) > 2{\rm{x}} + {\rm{m}} \Leftrightarrow {\rm{m}} < {\rm{f}}\left( x \right) - 2{\rm{x}}(*)\).

Xét hàm số \({\rm{g}}\left( x \right) = {\rm{f}}\left( x \right) - 2{\rm{x}}\) trên \[\left( {0\,;\,\,2} \right)\].

Ta có \[{\rm{g'}}\left( x \right) = {\rm{f'}}\left( x \right) - 2 < 0\,,\,\,\forall x \in \left( {0\,;\,\,2} \right)\] nên hàm số \({\rm{g}}({\rm{x}})\) nghịch biến trên \[\left( {0\,;\,\,2} \right)\].

Do đó \((*)\) đúng với mọi \(x \in \left( {0\,;\,\,2} \right)\) khi \(m \le g\left( 2 \right) = f\left( 2 \right) - 4\). Chọn A.