Cho hai số phức z, w thỏa mãn z−iz+2−3i=1 và w+iw−1+i=2 . Tìm phần ảo của số phức 2z + 3w khi |z - w| đạt giá trị nhỏ nhất

Đáp án đúng là: C

+) z−iz+2−3i=1

Þ |z - i| = |z + 2 - 3i|

Þ x² + (y - 1)² = (x + 2)² + (y - 3)²

 Û x² + y² - 2y + 1 = x² + 4x + 4 + y² - 6y + 9

Û 4x - 4y = - 12 Û y = x + 3

Û D: x - y + 3 = 0

M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z và thuộc đường thẳng y = x + 3

+) w+iw−1+i=2

Þ a² + (b + 1)² = 2(a - 1)² + 2(b + 1)²

Û 2(a - 1)² + (b + 1)² - a² = 0

Û 2a² - 4a + 2 + (b + 1)² - a² = 0

Û (a² - 4a + 4) + (b + 1)² = 2

Û (C): (a - 2)² + (b + 1)² = 2

N(a; b) là điểm biểu diễn của số phức w và thuộc đường tròn tâm I(2; -1) và có bán kính R=2

Ta có: |z - w| = MN đạt GTNN

Vậy suy ra MN đi qua tâm I và N gần M nhất

+) nΔ→=1; −1⇒nMN→=(1; 1)

Phương trình đường thẳng MN đi qua I(2; -1) và có véc-tơ pháp tuyến là nMN→=(1; 1)

MN: x - 2 + y + 1 = 0

Û x + y - 1 = 0

+) M là giao của đường thẳng D và MN nên ta có tọa độ điểm M thỏa mãn

x+y−1=0x−y+3=0⇔x+y=1  x−y=−3⇔x=−1y=2  

Vậy suy ra M(-1; 2) Þ z = -1 + 2i

+) N là giao của đường tròn (C) và MN nên ta có tọa độ điểm N thỏa mãn

a+b−1=0            a−22+b+12=2⇔b=1−a                 a−22+b+12=2

⇔b=1−a                 a−22+2−a2=2⇔b=1−a    a−22=1

⇔b=1−a    a−2=1  a−2=−1⇔b=1−aa=3a=1  ⇔a=3  b=−2a=1b=0  

Mà để N gần M hơn nên suy ra N(1; 0) Þ w = 1

Khi đó: 2z + 3w = 2(-1 + 2i) + 3

= 1 + 4i

Vậy phần ảo của số phức 2z + 3w là 4.