Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \(f\left( {2 - \sqrt {2x - {x^2}} } \right) = m\) có nghiệm?

Đáp án C

Phương pháp giải:

+) Đặt \(t\left( x \right) = 2 - \sqrt {2x - {x^2}} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in \left[ {0;2} \right]\), tìm khoảng giá trị của \(t\).

+) Dựa vào đồ thị hàm số, tìm điều kiện của \(m\) để phương trình \(f\left( t \right) = m\) có nghiệm thỏa mãn ĐK tìm được ở bước trên.

Giải chi tiết:

Xét hàm số \(t\left( x \right) = 2 - \sqrt {2x - {x^2}} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \in \left[ {0;2} \right]\), có:

\(t'\left( x \right) = \frac{{\sqrt {2x - {x^2}} }};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} t'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Hàm số \(t\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\) có:

\(t\left( 0 \right) = t\left( 2 \right) = 2,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} t\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} t\left( x \right) = 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} t\left( x \right) = 2\)

\(x \in \left[ {0;2} \right] \Rightarrow t \in \left[ {1;2} \right]\). Khi đó bài toán trở thành có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \(f\left( t \right) = m\) có nghiệm \(t \in \left[ {1;2} \right]\).

Quan sát đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) ta thấy, phương trình \(f\left( t \right) = m\) có nghiệm \( \Leftrightarrow 3 \le m \le 5\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {3;4;5} \right\}\) có 3 giá trị của m thỏa mãn.