Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn f(0) = 3 và fx+f2−x=x2−2x+2,∀x∈ℝ. Tính I=∫02x.f'xdx.

Phương pháp:

- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt u=xdv=f'xdx.

- Sử dụng giả thiết f(0) = 3 và fx+f2−x=x2−2x+2 tính f(2)

- Từ fx+f2−x=x2−2x+2 lấy tích phân từ 0 đến 2 hai vế, sau đó tính ∫02f2−xdx bằng phương pháp đưa biến vào vi phân.

Cách giải:

Đặt u=xdv=f'xdx⇒du=dxv=fx.

⇒I=∫02x.f'xdx=xfx20−∫02fxdx

     =2f2−∫02fxdx

Theo bài ra ta có fx+f2−x=x2−2x+2. Thay x=0⇒f0+f2=2⇒f2=2−f0=−1.

Lấy tích phân từ 0 đến 2 hai vế ta có ∫02fxdx+∫02f2−xdx=∫02x2−2x+2dx=83.

Mà ∫02f2−xdx=−∫02f2−xd2−x=−∫20fxdx=∫02fxdx

⇒2∫02fxdx=83⇔∫02fxdx=43.

Vậy ⇒I=2f2−∫02fxdx=2.−1−43=−103.

Chọn A.