Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x−11=y+11=z−m2 và mặt cầu (S):(x−1)2+(y−1)2+(z−2)2=9. Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt E, F sao cho độ dài đoạn EF lớn nhất.

Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2) và bán kính R = 3.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên d, khi đó H là trung điểm đoạn EF.

Ta có EF=2EH=2R2−(d(I,d))2. Suy ra EF lớn nhất khi d(I,d) nhỏ nhất

Đường thẳng d qua A(1;-1;m) và có véc tơ chỉ phương u→=(1;1;2).

Ta có AI→=(0;2;2−m),[AI→,u→]=(2+m;2−m;−2). Suy ra d(I,d)=[[AI→,u→]∣|u→|=2m2+121+1+4≥2.