Tìm giá trị thực của tham số \[m\]để hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - 4} \right)x + 3\]đạt cực đại tại\[x = 3\].

Lời giải

Chọn C

Ta có \[y' = {x^2} - 2mx + \left( {{m^2} - 4} \right)\]; \[y'' = 2x - 2m\].

Hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {{m^2} - 4} \right)x + 3\]đạt cực đại tại \[x = 3\]khi và chỉ khi: \[\left\{ \begin{array}{l}y'\left( 3 \right) = 0\\y''\left( 3 \right) < 0\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - 6m + {m^2} - 4 = 0\\6 - 2m < 0\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 5 = 0\\m > 3\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\left( L \right)\\m = 5\left( {TM} \right)\end{array} \right.\\m > 3\end{array} \right.\].

Vậy \(m = 5\)là giá trị cần tìm.