a) Xét tam giác vuông OAM và tam giác vuông OBN có:
Góc O chung
OA = OB (gt)
=> Tam giác vuông OAM = tam giác vuông OBN (cạnh góc vuông – góc nhọn kề)
=> OM = ON (2 cạnh tương ứng).
=> OM – OB = ON – OA
=> AN = BM
b) Xét tam giác vuông OAH và tam giác vuông OBH có:
OH chung
OA = OB (gt)
=> Tam giác vuông OAH = tam giác vuông OBH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
=> Góc O1 = Góc O2 (hai góc tương ứng)
=> OH là tia phân giác của góc xOy.
c) Tam giác vuông OAM = tam giác vuông OBN 
=> AM = BN (2 cạnh tương ứng)
Tam giác vuông OAH = tam giác vuông OBH (cmt)
=> AH = BH (2 cạnh tương ứng).
=> AM – AH = BN – BH
=> HM = HN
=> Tam giác HMN cân tại H
=> Trung tuyến HI đồng thời là đường cao
=> HI vuông góc với MN (1)
Tam giác OMN có OM = ON (cmt)
=> Tam giác OMN cân tại O
=> Trung tuyến OI đồng thời là đường cao
=> OI vuông góc với MN (2)
Từ (1) và (2) => O, H, I thẳng hàng (Qua I kẻ được 2 đường thẳng cùng vuông góc với MN).