a) D, E lần lượt là trung điểm của BC và AC (gt)

( Rightarrow DE) là đường trung bình của tam giác ABC ( Rightarrow DE//AB)

Mà (AB bot AC,,(Delta ABC) vuông tại A) nên (DE bot AC).

b) Tứ giác ABFC có:

BC cắt AF tại D (gt);

D là trung điểm của BC (AD là đường trung tuyến của tam giác ABC)

D là trung điểm của AF (F đối xứng với A qua D)

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành.

Mà (widehat {BAC} = {90^0},,(Delta ABC) vuông tại A) nên ABFC là hình chữ nhật.

c) Tứ giác ABCG có AC và BG cắt nhau tại E (gt);

E là trung điểm của AC (gt);

E là trung điểm của BG (G đối xứng với B qua E)

Do đó tứ giác ABCG là hình bình hành nên CG // AB

Mà CF // AB (ABFC là hình bình hành)

Do đó CG, CF trùng nhau (Tiên đề Ơ-clit)

Nên G, C, F thẳng hàng ( Rightarrow C in FG).

(Delta BGF) có EC // BF (AC // BF, (E in AC)) và E là trung điểm của BG

( Rightarrow C) là trung điểm của FG.

d) (Delta ABC) vuông tại A có AD là đường trung tuyến (gt) ( Rightarrow AD = DC = {{BC} over 2})

Tứ giác ADCH có AD // CH (gt) và CD // AH (ABCH là hình bình hành)

Do đó tứ giác ADCH là hình bình hành.

Mà (AD = DC) nên tứ giác ADCH là hình thoi.

 Xét tam giác ABC có :

BD=DC (AD là trung tuyến)

Và :AE=EC (gt)

=> DE là đtb của ABC

=>DE=1/2AB

Và DE//AB

Mà AB vuông góc với AC

Nên : DE vuông góc với AC (đpcm)

b, Xét tứ giác ABFC có :

 D là trung điểm AF ( F đối xứng với A qua D)

Và D là trung điểm BC (BD=DC)

=> AF cắt BC tại D

Hay ABFC là HBH ( Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là HBH)

Mà góc BAC=90

Vậy ABFC là HCN ( HBH có 1 góc vuông là HCN)

c,Xét tứ giác BCGA có :

E là trung điểm AC (gt)

E là trung điểm BG (G đối xứng với B qua E)

=> AC cắt BG tại E

Hay ABCG là HBH (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là HBH)

=> AB=CG và AB//CG

Mà AB=CF và AB//CF (ABCF là HCN)

=> CG//CF và CG=CF  

Vậy C là trung điểm FG