x2+(x+y)2=(x+9)2⇔(x+y)2=(x+9)2−x2=9(2x+9)x2+(x+y)2=(x+9)2⇔(x+y)2=(x+9)2−x2=9(2x+9)

Do 9 = 32 nên 2x + 9 phải là số chính phương vì (2x + 9; 9) = 1

Đặt 2x + 9 = a2

⇒2x=(a−3)(a+3)⇒x=(a−3)(a+3)2⇒2x=(a−3)(a+3)⇒x=(a−3)(a+3)2 (1)

a - 3 và a + 3 cùng tính chẵn lẻ, nên x nguyên dương khi a là số lẻ lớn hơn 3 
Đặt a = 2k + 1 với k > 1, (k nguyên) 
Ta có: 2x + 9 = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 
Do đó x = 2k² + 2k - 4, thay x vào (1)
(x + y)² = 9(2k + 1)² suy ra x + y = 3(2k + 1) = 6k + 3 nên y = 6k + 3 - x 
Khi đó y = 6k + 3 - 2k² - 2k + 4 = - 2k² + 4k + 7 > 0 
⇒⇒  k² - 2k < 7272  ⇒⇒  (k-1)² < 72+1=9272+1=92  

Suy ra k-1 < 3√232 ⇒⇒  k - 1 ≤ 2 => k ≤ 3 

Vì k > 1 nên k = 2 hoặc k = 3 
Với k = 2 ta tìm được x = 8, y = 7 
Với k = 3 ta tìm được  x = 20, y = 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm (x ;y) = (8; 7); (20; 1)