Cách dựng:

       –            Dựng điểm D đối xứng với A qua Ox

       –            Dựng điểm E đối xứng với A qua tia Oy

       –            Nối DE cắt Ox tại B, Oy tại C

Tam giác ABC là tam giác có chu vi nhỏ nhất.

Vì ˆxOy<900xOy^<900 nên DE luôn cắt Ox và Oy do đó ∆ ABC luôn dựng được.

Chứng minh:

Chu vi ∆ ABC bằng AB + BC + AC

Vì D đối xứng với A qua Ox nên Õ là đường trung trực của AD

⇒ AB = BD ( tính chất đường trung trực)

E đối xứng với A qua Oy nên Oy là đường trung trực của AE

⇒AC = CE ( tính chất đường trung trực)

Suy ra: AB + BC + AC = BD + BC + CE = DE (1)

Lấy B’ bất kì trên Ox, C’ bất kì trên tia Oy. Nối C’E, C’A, B’A, B’D.

Ta có: B’A = B’D ( tính chất đường trung trực)

            C’A = C’E (tính chất đường trung trực)

Chu vi ∆ AB’C’ bằng AB’ + AC’ + B’C’ = B’D + B’C’ +C’E (2)

Vì DE ≤ B’D + B’C’ + C’E (dấu bằng sảy ra khi B’ trùng B. C’ trùng C)

nên chu vi của ∆ ABC ≤ chu vị của ∆ A’B’C’

Vậy ∆ ABC có chu vi bé nhất.