Câu a phải là chứng minh BDE vuông chứ bạn
Hình bạn tự vẽ nhé
a)
Xét tam giác ABD và tam giác EBD có:
AB = EB (gt)
góc ABD = góc EBD (BD là tia phân giác góc B)
BD: cạnh chung
suy ra tam giác ABD = tam giác EBD (c.g.c)
suy ra góc BAD = góc BED (2 góc tương ứng)
mà BAD = 90 độ (tam giác ABC vuông tại )
suy ra BED = 90 độ (đpcm)
b)
Gọi giao điểm của BD và AE là I
Xét tam giác ABI và tam giác EBI có:
AB = EB (gt)
góc ABI = góc EBI (BD là phân giác góc B)
BI: cạnh chung
suy ra tam giác ABI = tam giác EBI (c.g.c)
suy ra AI = EI (2 cạnh tương ứng) (1)
và góc BIA = góc BIE (2 góc tương ứng)
mà BIA + BIE = 180 độ (2 góc kề bù)
suy ra 2BIA = 180 độ
suy ra BIA = 90 độ 
suy ra BD vuông góc với AE tại I (2)
Từ 1) và (2) 
suy ra BD là đường trung trực AE (đpcm)
c)
Vì tam giác ABD = tam giác EBD (câu a)
suy ra AD = ED (2 cạnh tương ứng)
Ta có BAD + DAK = 180 độ (2 góc kề bù)
mà BAD =  90 độ ( tam giác ABC vuông tại )
suy ra 90 độ + DAK = 180 độ
suy ra DAK = 90 độ  
suy ra tam giác DAK vuông tại A
Bạn làm tương tự rồi chứng minh tam giác DEC vuông tại E nhé
Xét tam vuông DAK và tam giác vuông DEC có
DA = DE (cmt)
AK = EC ( gt)
suy ra tam giác vuông DAK = tam giác vuông DEC (2 cạnh góc vuông)
Suy ra góc ADK = góc EDC (2 góc tương ứng)
mà  EDC + EDA = 180 độ (2 góc kề bù)
suy ra  ADK + EDA = 180 độ
suy ra KDE = 180 độ
suy ra E, D, K thẳng hàng (đpcm)
d)
Gọi giao điểm của  BD và KC là H
Ta có AB = EB ( gt)
         AK = EC (gt)
suy ra AB + AK = EB + EC
suy ra BK = BC 
Xét tam giác BKH và tam giác BCH có
BK = BC
KBH = CBH (BD là phân giác của góc B )
BH: cạnh chung 
suy ra tam giác BKH = tam giác BCH (c.g.c)
suy ra góc BHK = góc BHC (2 góc tương ứng)
mà BHK + BHC = 180 độ ( 2 góc kề bù)
suy ra 2BHK = 180 độ
suy ra BHK = 90 độ
suy ra BH vuông góc với KC tại H
suy ra BD vuông góc với KC tại H
mà BD vuông góc với AE tại I (câu b)
suy ra KC // AE (đpcm)