Chứng minh rằng tồn tại hai lũy thừa của hai mà khác nhau bằng bội số của 1987. Chứng minh rằng trong 52 số nguyên bất kỳ, luôn có thể tìm được hai số sao cho hiệu bình phương của chúng chia hết cho 100. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên có biểu diễn thập phân hoàn toàn bằng 1 's và chia hết cho 1987

Tiếng Việt:

1. Chứng minh rằng tồn tại hai lũy thừa của hai mà khác nhau bằng bội số của 1987.

2. Chứng minh rằng trong 52 số nguyên bất kỳ, luôn có thể tìm được hai số sao cho hiệu bình phương của chúng chia hết cho 100.

3. Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên có biểu diễn thập phân hoàn toàn bằng 1 's và chia hết cho 1987.

4. Chứng minh rằng tồn tại một lũy thừa của ba mà kết thúc bằng các chữ số 001 (trong ký hiệu thập phân).

5. Mỗi ô trong cách sắp xếp ô 3 x 3 được điền một trong các số-I, 0, 1. Chứng minh rằng trong tám tổng có thể có theo hàng, theo cột và theo đường chéo, hai tổng phải bằng nhau.

6. Trong số 100 người ngồi vào bàn tròn, hơn một nửa là nam giới. Chứng minh rằng có hai người nam ngồi đối diện nhau.

English:

1. Prove that there exist two powers of two which differ by a multiple of 1987.

    2. Prove that of any 52 integers, two can always be found such that the difference of their squares is divisible by 100.
    
    3. Prove that there exists an integer whose decimal representation consists entirely of 1 's, and which is divisible by 1987.
    
    4. Prove that there exists a power of three which ends with the digits 001 (in decimal notation).
    
    5. Each box in a 3 x 3 arrangement of boxes is filled with one of the numbers -I, 0, 1. Prove that of the eight possible sums along the rows, the columns, and the diagonals, two sums must be equal.
    
    6. Of 100 people seated at a round table, more than half are men. Prove that there are two men who are seated diametrically opposite each other.