Cho đường tròn (0) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (0)(
A, B là tiếp điểm ). Qua M kè cát tuyến MNP (MN < MP) đến (O). Gọi K là trung điểm
NP.
1)
Chứng minh rằng các điểm M, A, K, K, O, B cùng thuộc một đường tròn.
Chứng minh rằng tia KM là phân giác góc AKB.
Gọi Q là giao điểm thứ hai của đường thắng BK với đường tròn (O). Chứng minh răng
2)
3)
AQII NP.
4)
Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh rằng MA = MH MO = MN MP.
5)
Chủng minh rằng 4 điểm N, H, O, P cùng thuộc một đường tròn.
6)
Gọi E là giao điểm của AB và KO. Chứng minh rằng AB' = 4.HE.HF (F là giao điểm
của AB và NP ).
Chứng minh rằng KEMH là tứ giác nội tiếp. Từ đó chứng tỏ rằng OK.OE không đổi. Từ
7)
đó suy ra EN , EP là các tiếp tuyến của (O).
8)
Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng MO với đường tròn (0).
Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp AMAB.
9) Chứng minh rằng KF và KE lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của góc
AKB. Từ đó suy ra: AE.BF = AF.BE.
10) Tim vị trí của các tuyến MNP để diện tích tam giác MQP đạt giá trị nhỏ nhất.
11) Chứng minh khi các tuyến MNP quay quyanh M thì trong tâm G của tam giác NAP
luôn chạy trên một dưong tròn cố định và cát tuyến MNP cố định, điểm M di chuyển trên tia
đối của NP, chứng minh đường AB đi qua 1 điểm cố định.
Giả sử MO = 2R. Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi hai bán kính OA, OB và
12)
nhỏ AB.
cung