1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện

Góc đối diện với cạnh lớn hơn

Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Ví dụ: ΔABC, AC > AB ⇒ ∠B > ∠C

Cạnh đối diện với góc lớn hơn

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Ví dụ: ΔABC, ∠B > ∠C ⇒ AC > AB

2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

Khái niệm đường thẳng vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên

Từ điểm A không nằm trên đường thẳng d, kẻ một đường thẳng vuông góc với d tại H. Khi đó:

- Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d; điểm H gọi là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.

- Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

- Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.

Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Ví dụ: AH ⊥ a ⇒ AH < AC, AH < AD, AH < AB

Các đường xiên và hình chiếu của chúng
 

Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:

- Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

AH ⊥ a, HD > HC ⇒ AD > AC

- Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.

AH ⊥ a, AD > AC ⇒ HD > HC

- Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

AB = AC ⇔ HB = HC

3. Quan hệ ba cạnh của tam giác và bất đẳng thức tam giác

Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Cho tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức sau:

      AB + AC > BC hay b + c > a

      AB + BC > AC hay c + a > b

      AC + BC > AB hay b + a > c

Hệ quả của bất đẳng thức tam giác

Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

Nhận xét: Nếu xét đồng thời cả tổng và hiệu độ dài hai cạnh của một tam giác thì quan hệ giữa các cạnh của nó còn được phát biểu như sau:

Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại.

4. Tính chất đường trung tuyến của tam giác

- Định lý 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.

- Định lý 2: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

5. Tính chất đường phân giác của tam giác

Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. (Định lý thuận).

Cho góc xOy có Oz là tia phân giác

Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc đó thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Tính chất 3 đường phân giác

Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Tam giác ABC có ba đường phân giác giao nhau tại I, khi đó:

6. Tính chất của đường trung trực trong tam giác

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó

Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

MA = MB ⇒ M thuộc đường trung trực của AB

Nhận xét: Từ hai định lý thuận và đảo, ta có: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Tính chất: Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này.

Tính chất 3 đường trung trực trong tam giác

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Điểm O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC, ta có OA = OB = OC

Chú ý: Vì giao điểm O của ba đường trung trực của tam giác ABC cách đều ba đỉnh của tam giác đó nên có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C. Ta gọi đường tròn đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

7. Tính chất đường cao trong tam giác

Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.

Tam giác ABC có H là giao điểm của ba đường cao. Khi đó H là trực tâm của tam giác ABC.

1. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện

Góc đối diện với cạnh lớn hơn

Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn.

Ví dụ: ΔABC, AC > AB ⇒ ∠B > ∠C

Cạnh đối diện với góc lớn hơn

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

Ví dụ: ΔABC, ∠B > ∠C ⇒ AC > AB

2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu

Khái niệm đường thẳng vuông góc, đường xiên, hình chiếu của đường xiên

Từ điểm A không nằm trên đường thẳng d, kẻ một đường thẳng vuông góc với d tại H. Khi đó:

- Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d; điểm H gọi là chân của đường vuông góc hay hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d.

- Đoạn thẳng AB gọi là một đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

- Đoạn thẳng HB gọi là hình chiếu của đường xiên AB trên đường thẳng d.

Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Ví dụ: AH ⊥ a ⇒ AH < AC, AH < AD, AH < AB

Các đường xiên và hình chiếu của chúng
 

Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó:

- Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

AH ⊥ a, HD > HC ⇒ AD > AC

- Đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn.

AH ⊥ a, AD > AC ⇒ HD > HC

- Nếu hai đường xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau; nếu hai hình chiếu bằng nhau thì hai đường xiên bằng nhau.

AB = AC ⇔ HB = HC

3. Quan hệ ba cạnh của tam giác và bất đẳng thức tam giác

Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Cho tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức sau:

      AB + AC > BC hay b + c > a

      AB + BC > AC hay c + a > b

      AC + BC > AB hay b + a > c

Hệ quả của bất đẳng thức tam giác

Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.

Nhận xét: Nếu xét đồng thời cả tổng và hiệu độ dài hai cạnh của một tam giác thì quan hệ giữa các cạnh của nó còn được phát biểu như sau:

Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại.

4. Tính chất đường trung tuyến của tam giác

- Định lý 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm của tam giác đó.

- Định lý 2: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

5. Tính chất đường phân giác của tam giác

Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó. (Định lý thuận).

Cho góc xOy có Oz là tia phân giác

Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của góc đó thì nằm trên tia phân giác của góc đó.

Tính chất 3 đường phân giác

Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.

Tam giác ABC có ba đường phân giác giao nhau tại I, khi đó:

6. Tính chất của đường trung trực trong tam giác

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó

Điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó.

MA = MB ⇒ M thuộc đường trung trực của AB

Nhận xét: Từ hai định lý thuận và đảo, ta có: Tập hợp các điểm cách đều hai mút của một đoạn thẳng là đường trung trực của đoạn thẳng đó.

Tính chất: Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này.

Tính chất 3 đường trung trực trong tam giác

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Điểm O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC, ta có OA = OB = OC

Chú ý: Vì giao điểm O của ba đường trung trực của tam giác ABC cách đều ba đỉnh của tam giác đó nên có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C. Ta gọi đường tròn đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

7. Tính chất đường cao trong tam giác

Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác.

Tam giác ABC có H là giao điểm của ba đường cao. Khi đó H là trực tâm của tam giác ABC.