a, Vì AH là tia phân giác của ∠BAC

=> ∠BAH = ∠HAC = ∠BAC : 2

Xét △EAH vuong tại H và △FAH vuông tại H

Có: AH là cạnh chung     

     ∠EAH = ∠FAH (cmt)

=> △EAH = △FAH (cgv-gn)

=> AE = AF (2 cạnh tương ứng)

Vì M là trung điểm của BC => MB = MC = BC/2

Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt MF tại D 

Ta có: CD // AB (cách vẽ) => ∠CDF = ∠AEF (2 góc đồng vị)  (1)  và ∠DCB = ∠ABC (2)

Xét △AEF có: AE = AF (cmt) => △AEF cân tại A => ∠AEF = ∠AFE  (3)

Từ (1) và (3) => ∠AFE = ∠CDF hay ∠CFD = ∠CDF

Xét △CFD có: ∠CFD = ∠CDF (cmt) => △CFD cân tại C => CF = CD

Xét △CDM và △BEM

Có: ∠DCM = ∠EBM (cmt).

           MC = MB (cmt)

      ∠CMD = ∠BME (2 góc đối đỉnh)

=> △CDM = △BEM (g.c.g)

=> CD = BE (2 cạnh tương ứng)

Mà CF = CD (cmt)

=> BE = CF

b, Ta có: AF = AC + CF  (4) và AE = AB - BE (5)

Cộng 2 vế của (4) và (5) => AF + AE = AC + CF + AB - BE

Mà AF = AE và CF = BE

=> AE + AE = AC + AB

=> 2AE = AC + AB

=> AE = (AC + AB) : 2

Ta có: BE = AB - AE (6)  và BE = CF mà CF = AF - AC  => BE = AF - AC (7)

Cộng 2 vế của (6) và (7) => BE + BE = AB - AE + AF - AC => 2BE = AB - AC (AE = AF)  => BE = (AB - AC) : 2

c, Xét △MBE có ∠MEA là góc ngoài của △ tại đỉnh E

=> ∠MEA = ∠EMB + ∠EBM  => ∠AEF = ∠BME + ∠EBM => ∠AEF = ∠BME + ∠ABC 

Xét △CFM có ∠MCA là góc ngoài của △ tại đỉnh C 

=> ∠MCA = ∠CFM + ∠CMF   => ∠ACB = ∠CFM + ∠CMF

Mà ∠CFM = ∠AEF (cmt) ; ∠CMF = ∠BME (2 góc đối đỉnh)

=> ∠ACB = ∠AEF + ∠BME  

=> ∠ACB = ∠BME + ∠ABC + ∠BME

=> 2 .  ∠BME + ∠ABC = ∠ACB

=> 2 . ∠BME = ∠ACB - ∠ABC

=> ∠BME = (∠ACB - ∠ABC) : 2