1) Chứng minh tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp.

Ta có M, N là hình chiếu của H trên AB, AC ⇒∠AMH=∠ANH=900⇒∠AMH=∠ANH=900

Xét tứ giác AMHN ta có: ∠AMH+∠ANH=1800.∠AMH+∠ANH=1800.

Suy ra tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp (dnhn)
2) Chứng minh ∠ABC=∠ANM.∠ABC=∠ANM.

Ta có tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp suy ra ∠MAH=∠MNH∠MAH=∠MNH

(hai góc nội tiếp tiếp cùng chắn cung MH).

Mặt khác: ∠BAH+∠ABH=900(ΔABH∠BAH+∠ABH=900(ΔABH vuông tại H).

                   ∠ANM+∠MNH=900(∠ANH=900)∠ANM+∠MNH=900(∠ANH=900)

Suy ra: ∠ABH=∠ANM(=900−∠MNH)(dpcm).
 

3) Chứng minh OA vuông góc với MN.

Kéo dài OA cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại A’.

Ta có: ∠CA′A=∠ABC∠CA′A=∠ABC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Góc ∠A′CA∠A′CA chắn nửa đường tròn nên ∠A′CA=900.∠A′CA=900.

⇒∠CA′A+∠A′AC=900.⇒∠CA′A+∠A′AC=900. (Tổng hai góc trong tam giác vuông)

Mà ∠ABC+∠BAH=900(ΔABH∠ABC+∠BAH=900(ΔABH vuông tại H).

⇒∠BAH=∠A′AC.⇒∠BAH=∠A′AC.

Lại có: ∠ABC=∠ANM(cmt)∠ABC=∠ANM(cmt)

⇒∠A′AC+∠ANM=900⇒OA⊥MN(dpcm).