Gọi I là trung điểm AO

a) Xét (O) có: {HO⊥BCHO=R

⇒ ^BHO =900 (theo liên hệ giữa đường kính và dây cung)

hay ^AHO =900

Vì AM là tiếp tuyến (O)

⇒ ^AMO =900

Vì AN là tiếp tuyến (O)

⇒ ^ANO =900

Xét ΔAMO có:

^AMO =900

MI là trung tuyến ứng AO

⇒AI=IO=MI=AO2 (1)

Xét ΔANO có:

^ANO =900

NI là trung tuyến ứng AO

⇒AI=IO=IN=AO2 (2)

Xét ΔAHO có:

^AHO =900

HI là trung tuyến ứng AO

⇒AI=IO=HI=AO2 (3)

Từ (1),(2) và (3) ⇒MI=HI=NI=AI=OI(=AO2)

⇒A,N,O,H,M∈(I,AO2)

⇒ Tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn (theo dhnb tứ giác nội tiếp)

b) Xét (O) có: ^AMB=^MCB (cùng chắn ⌢BM )

Xét ΔABM và ΔAMC vì:

^CAM:chung

^AMB=^MCB (cmtrn)

⇒ΔABM=ΔAMC(g.g)

⇒ABAM=AMAC⇔AB.AC=AM2 (đpcm)

c) Vì tứ giác AMHN nội tiếp đường tròn (cm câu a.)

⇒ ^MAH=^MNH hay ^MAB=^MNH (4)

Vì AM//BE

⇒ ^EBH=^MAB (5)

Từ (4) và (5) ⇒ ^MNH=^EBH(=^MAB)

⇒ Tứ giác BEHN nội tiếp đường tròn (theo dhnb tứ giác nội tiếp)

⇒ ^EHB=^BNE hay ^EHB=^BNM (*)

Xét (O) có: ^BNM=^BCM (cùng chắn ⌢BM) (**)

Từ (*) và (**) ⇒ ^EHB=^BCM(=^BNM)

(mà hai góc ở vị trí đồng vị)