24. Cho tứ diện \(ABCD\) có tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), \(DA = DB = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\),\(CD \bot AD\). Trên cạnh \(CD\) kéo dài lấy điểm \(E\) sao cho \(\widehat {AEB} = 90^\circ \). Tính thể tích \(V\) của khối tứ diện \(EABC\).

 

 

Đăng ngày: 04/07/2021 Biên tập: adminThuộc chủ đề:Trắc nghiệm Khoảng cách và góc trong không gianTag với:HHKG VDC, TN THPT 2021

 

DẠNG TOÁN TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN – GÓC – KHOẢNG CÁCH – THỂ TÍCH – TỶ SỐ – CỰC TRỊ HÌNH HỌC
===============
24. Cho tứ diện \(ABCD\) có tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), \(DA = DB = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\),\(CD \bot AD\). Trên cạnh \(CD\) kéo dài lấy điểm \(E\) sao cho \(\widehat {AEB} = 90^\circ \). Tính thể tích \(V\) của khối tứ diện \(EABC\).

A. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}\).

B. \(\frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}\).

C. \(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}\).

D. \(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

Lời giải

+ Theo giả thiết ta có \(\left\{ \begin{array}{l}DA = DB\\CA = CB\end{array} \right. \Rightarrow CD\) thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn\(AB \Rightarrow CD \bot AB\).

+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABD} \right)\). Mà \(E \in CD \Rightarrow CE \bot \left( {ABD} \right)\) và \(EA = EB\).

+ \(\Delta ABE\) vuông cân tại \(E \Rightarrow EA = EB = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

+ Xét \(\Delta DBE\) vuông tại \(D \Rightarrow ED = \sqrt {E{B^2} – B{D^2}}  = \sqrt {{{\frac{a}{2}}^2} – {{\frac{a}{3}}^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

+ Xét \(\Delta DBC\) vuông tại \(D \Rightarrow CD = \sqrt {C{B^2} – B{D^2}}  = \sqrt {{a^2} – {{\frac{a}{3}}^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

+ Ta có \(EC = CD + DE = \frac{{a\sqrt 6 }}{3} + \frac{{a\sqrt 6 }}{6} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

+ Gọi \(I\) là trung điểm\(AB\), xét \(\Delta DIB\) vuông tại \(I \Rightarrow ID = \sqrt {B{D^2} – B{I^2}}  = \sqrt {{{\frac{a}{3}}^2} – \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Vậy \({V_{EABC}} = \frac{1}{3}.EC.{S_{DAB}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{6}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}\).