)      Giải phương trình: √2x+1+3√4x2−2x+1=3+√8x3+12x+1+34x2−2x+1=3+8x3+1

Ta có:

Điều kiện xác định: ⎧⎪⎨⎪⎩2x+1≥04x2−2x+1≥08x3+1≥0⇔x≥−12{2x+1≥04x2−2x+1≥08x3+1≥0⇔x≥−12

Đặt: {a=√2x+1b=√4x2−2x+1⇒{a;b≥0ab=√(2x+1)(4x2−2x+1)=√8x3+1{a=2x+1b=4x2−2x+1⇒{a;b≥0ab=(2x+1)(4x2−2x+1)=8x3+1

Phương trình đã cho trở thành: a+3b=3+ab⇔(a−3)(1−b)=0a+3b=3+ab⇔(a−3)(1−b)=0

⇔[a=3b=1⇔[2x+1=94x2−2x+1=1⇔[x=42x(2x−1)=0⇔⎡⎢ ⎢⎣x=4x=0x=12(tm)⇔[a=3b=1⇔[2x+1=94x2−2x+1=1⇔[x=42x(2x−1)=0⇔[x=4x=0x=12(tm)

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là: S={4;12;0}S={4;12;0}

b)     Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình: {x2−2x+2y−3=016x2−8xy2+y4−2y+4=0{x2−2x+2y−3=016x2−8xy2+y4−2y+4=0

Ta có:

{x2−2x+2y−3=016x2−8xy2+y4−2y+4=0⇔{x2−2x+1=4−2y16x2−8xy2+y4=4−2y⇒x2−2x+1=16x2−8xy2+y4⇔(x−1)2=(4x−y2)2=4−2y⇒[x−1=4x−y2x−1=y2−4x⇔⎡⎢⎣x=y2−13x=y2+15{x2−2x+2y−3=016x2−8xy2+y4−2y+4=0⇔{x2−2x+1=4−2y16x2−8xy2+y4=4−2y⇒x2−2x+1=16x2−8xy2+y4⇔(x−1)2=(4x−y2)2=4−2y⇒[x−1=4x−y2x−1=y2−4x⇔[x=y2−13x=y2+15

TH1: x=y2−13x=y2−13

⇒y4−2y2+19−2(y2−1)3+2y−3=0⇔y4−2y2+1−6y2+6+18y−27=0⇔y4−8y2+18y−20=0⇔(y−2)(y3+2y2−4y+10)=0⇒y=2⇒x=1.⇒y4−2y2+19−2(y2−1)3+2y−3=0⇔y4−2y2+1−6y2+6+18y−27=0⇔y4−8y2+18y−20=0⇔(y−2)(y3+2y2−4y+10)=0⇒y=2⇒x=1.

TH2: x=y2+15x=y2+15

⇒y4+2y2+125−2(y2+1)5+2y−3=0⇔y4+2y2+1−10y2−10+50y−75=0⇔y4−8y2+50y−84=0⇔(y−2)(y3+2y2−4y+42)=0⇒y=2⇒x=1.⇒y4+2y2+125−2(y2+1)5+2y−3=0⇔y4+2y2+1−10y2−10+50y−75=0⇔y4−8y2+50y−84=0⇔(y−2)(y3+2y2−4y+42)=0⇒y=2⇒x=1.

Vậy nghiệm nguyên duy nhất của hệ đã cho là (1;2)(1;2).