a. Ta có: AB ⊥ AC 

HK ⊥ AC 

Suy ra: AB//HK

b. Xét hai tam giác vuông ΔAHKΔ và ΔAHII: 

Ta có: AH cạnh chung

HK=HI (gt)
Vậy ΔAHK = ΔAHI (c.g.c)

Vậy AK=AI nên ΔAKI cân

c. Do ΔAKII cân nên ˆAKI=ˆAIK^=AIK^ (ΔAKIΔ cân) (1)

ˆAKI=ˆBAKAKI^=BAK^ (so le trong do AB//HK) (2)

Từ (1)(2) Suy ra: ˆAIK=AIK^=BAK^

d. Xét ΔAIC và ΔAKC:

Ta có: AK=AI (cm b)

ˆIAC=IAC^=KAC^ (cm b)

AC cạnh chung

Vậy ΔAIC = ΔAKC (c.g.c)
 

a) Ta có: AB⊥AC(ΔABC vuông tại A)

HK⊥AC(Gt)

Do đó: AB//HK(Định lí 1 từ vuông góc tới song song)

b) Xét ΔAKH vuông tại H và ΔAIH vuông tại H có 

KH=IH(gt)

AH chung

Do đó: ΔAKH=ΔAIH(hai cạnh góc vuông)

Suy ra: AK=AI(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔAKI có AK=AI(cmt)

nên ΔAKI cân tại A(Định nghĩa tam giác cân)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB vuông góc với AC mà HK vuông góc với AC nên AB//HK

b)Ta có: ^AHK=^AHI=900 mà HI=HK nên AH là đường trung trực của KI

=>AK=AI(tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

nên tam giác AKI cân tại A

c)Vì tam giác AKI cân tại A nên ^AKI=^AIK(1)

Vì AB//HK nên ^BAK=^AKI( 2 góc sole trong)(2)

Từ (1);(2) => ^BAK=^AIK

d)Vì tam giác AIK có ^AHK=^AHI=900 nên AH là đường cao của tam giác AKI mà tam giác AKI cân tại A nên AH cũng là đường phân giác của tam giác AKI(tính chất đường cao, tia phân giác, đường trung trực, đường trung tuyến của một tam giác cân từ đỉnh đến cạnh đáy đối diện) hay ^KAH=^IAH

Xét tam giác AKC và tam giác AIC có:

AC là cạnh chung

^KAH=^IAH(CMT)

 AK=AI(CMT)

Do đó, tam giác AKC=tam giác AIC(c.g.c)

=>^AKC=^AIC(2 góc tương ứng)