Gọi K là giao điểm của At với BF

Xét tam giác ABF có: AK là tia phân giác góc  BAF

                                      AK là đường cao (do AK vuông góc với BF)

=> Tam giác ABF cân tại A

=> AB=AF

Mà AC=2AB=> AC=2AF

Xét tam giác AEC vuông tại E có: F là trung điểm AC

=> EF=AF=FC( tính chất trung tuyến của tam giác vuông)

=> EF=AB

Xét tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC      

                                                         F là trug điểm của AC

=> MF là đường trung bình cuar tam giác ABC

=> MF //AB (tiinhs chất đường trung bình

Xét tứ giác ABEF có:AB//EF( do AB//MF)

                                AB=EF

=> Tứ  giác ABEF là hbh (dấu hiệu nhận biết hbh)

Mà góc BAF=90

=> Tứ giác ABEF là hcn (dhnb hình chữ nhật)

b) Ta có: Tứ giác ABEF là hcn

=> K là trung điểm AE (tính chất hcn)

Xét tam giác ABc vuông tại A có AM là trung tuyến

=> AM=MB=MC(tính chất trung tuyến tam giác vuông)

=> Tam giác AMC cân tại M

=>Góc MAC=góc MCA

Mà góc MCA=góc BAH(cùng phụ góc ABC)

=>Góc MAC=góc BAH

Xét tam giác ABP và tam giác AFQ có:

AB=AF

Góc BAP=góc FAQ

Góc ABP=góc AFQ(do tam giác ABF cân tại A)

=> tam giác ABP=tam giác AFQ(g-c-g)

=> AP=AQ

=>Tam giác APQ cân tại A

Có AK là đường cao

=> AK đồng thời là trung tuyến

=> K là trung điểm PQ

Xét tứ giác APEQ có: K là trung điểm AE; PQ

=> Tứ  giác APEQ là hbh

Có AE vuông góc PQ

=>Tứ giác APEQ là hình thoi( dấu hiệu nhận biết hình thoi)

=> đpcm