Xét hình thang ABCDABCD có: HH là trung điểm của AD, KAD, K là trung điểm của BCBC nên KHKH là đường trung bình của hình thang ABCDABCD.

Suy ra ⎧⎨⎩KH∥CD(1)HK=AB+CD2=10+202=15cm{KH∥CD(1)HK=AB+CD2=10+202=15cm

Vì AIAI và DIDI là hai tia phân giác của góc AA và góc DD nên ta có:ˆIAD+ˆIDA=ˆA+ˆD2=180∘2=90∘IAD^+IDA^=A^+D^2=180∘2=90∘ .

Xét ΔAIDΔAID có: ˆAID=180∘−(ˆIAD+ˆIDA)=180∘−90∘=90∘AID^=180∘−(IAD^+IDA^)=180∘−90∘=90∘ . Suy ra ΔAIDΔAID vuông tại II. Lại có IHIH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền ADAD của tam giác vuông AIDAID nên HI=HDHI=HD .

Do đó tam giác HIDHID cân tại HH nênˆHID=ˆHDIHID^=HDI^ .

Mà ˆHDI=ˆIDC⇒ˆHID=ˆIDC⇒HI∥DC(2)HDI^=IDC^⇒HID^=IDC^⇒HI∥DC(2) .

Từ (1) và (2) suy ra H, I, KH, I, K thẳng hàng hay điểm II thuộc đường thẳng HKHK.

Tương tự điểm JJ thuộc đường thẳng HKHK. Do đó bốn điểm H, I, J, KH, I, J, K thẳng hàng.

IH=AD2=102=5cmJK=BC2=122=6cm⇒IJ=HK−IH−JK=15−5−6=4cm