Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD

Trong ∆OAB, ta có:

OA + OA > a (bất đẳng thức tam giác)          (1)

Trong ∆OCD ta có:

Từ (1) và (2) suy ra:

OA + OB + OC + OD > a + c

Hay AC + BD > a + c  (*)

-Trong ∆OAD ta có: OA + OD > d (bất đẳng thức tam giác) (3)

-Trong ∆OBC ta có: OB + OC > b (bất đẳng thức tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: OA + OD + OB + OC > b + d

⇒ AC + BD > b + d (**)

Từ (*) và (**) suy ra: 2(AC + BD) > a + b + c + d

⇒AC+BD>a+b+c+d2⇒AC+BD>a+b+c+d2

-Trong ∆ABC ta có: AC < AB + BC =  a + b (bất đẳng thức tam giác)

-Trong ∆ADC ta có: AC < AD + DC = c + d (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: 2AC < a + b + c + d

AC<a+b+c+d2AC<a+b+c+d2   (5)

-Trong ∆ABD ta có: BD < AB + AD = a + d (bất đẳng thức tam giác)

-Trong ∆BCD ta có: BD < BC + CD = b + c (bất đẳng thức tam giác)

Suy ra: 2BD < a + b + c + d

BD<a+b+c+d2BD<a+b+c+d2   (6)

Từ (5) và (6) suy ra: AC + BD < a + b + c + d