Bài 5
a, ta có 

KE // AC 

AC vuông góc AB

⇒ KE vuông góc AB

⇒ ∠ KEB = 90độ

xét ΔABH có ∠ AHB =90độ

→∠HBA+∠HAB= 90 độ

Xét Δ BEK có ∠BEK=90 độ

→∠EBK+∠EKB=90độ

⇒ ∠HBA + ∠HAB=∠EBL+∠EKB

mà ∠EBK=∠ABH

⇒∠BAH = BKE (1)

ta có AK là p/giác ∠HAC

⇒∠HAK=∠KAC

mà EK//AC→∠EKA = ∠KAC (so le trong )

⇒∠HAK =∠EKA (2)

(1)+(2) ⇒∠BAH +∠HAK=∠BKE+∠EKA

⇒ ∠BAK=BKA

b,ΔAEK VÀ ΔKHA CÓ

∠EAK = ∠HKA (∠BAK=∠BKA)

AK CHUNG 

∠EKA=∠HAK (CMT)

⇒ΔAEK=ΔKHA (g-c-g)

c, ta có ;∠IAK = ∠IKA ( ∠EKA=∠KAH)

⇒ΔIAK CÂN TẠI I ⇒IA=IK

Δ ABI VÀ ΔKBI

BI CHUNG

BA=BK

IA=IK

⇒ΔABI=ΔKBI (ccc)

⇒∠ABI=∠KBI

⇒BI LÀ P/GIÁC ∠ABK

d, TA CÓ 

Δ BAK CÂN MÀ ∠B LỚN HƠN 60ĐỘ

⇒ ∠BAK =∠BKA →1/2 . (180ĐỘ - 60 ĐỘ)=60ĐỘ 

TA CÓ ∠ BKA + ∠BKA= 90ĐỘ (∠AKD =90ĐỘ)

MÀ ∠BKA nhỏ hơn 60 độ

⇒∠DKC lớn hơn 30 độ (1)

ta có ∠ABC + ∠ACB = 90ĐỘ

MÀ ∠ABC LỚN HƠN 60 ĐỘ ⇒ ⇒∠ACB NHỎ HƠN 30 ĐỘ (2)

⇒ΔDKC CÓ ∠DKC LỚN HƠN ∠DCK

⇒ CẠNH CHẮN ∠DKC LỚP HƠN CẠNH CHẮN ∠DCK

⇒DC LỚN HƠN DK (đpcm)

bài 4 . (hình tự vẽ)

a, Xét hình tứ giác MEHF. Ta có các góc ˆMFH , ˆFHE,ˆHEMH là góc vuông .Vì vậy MEHF là hình chữ nhật. Suy ra ME=FH

b, Tam giác DBM và FMB là tam giác vuông có chung cạch huyền BM. Vì vậy để chứng minh 2 tam giác bằng nhau ta chỉ cần chứng mình góc ˆDBM= BMF^? 

Thật vậy, theo đề FM//AC=> góc BMF= góc BCA

Mặt khác ΔABCcân tại A nên góc BCA = góc DBM^

Do vậy góc ˆDBM= ˆBMF hay:ΔDBM=ΔFMB

c. Do ΔDBM=ΔFMB, nên MD = BF.

Đồng thời MFHE là hình chữ nhật nên ME=FH.

Suy ra: MD+ME=BF+FH=BH=const

d. Gọi N là giao điểm của DK và BC. Kẽ đường thẳng từ D song song với AC cắt BC tại O.

Xét ΔNDOvà ΔNKC

Có DO//CK vì vậy góc ˆDON=ˆNCK^và ˆgóc ODN=ˆCKN

Đồng thời tam giác ΔBDO cân tại D, nên BD=DO.

BD=MF do 2 tam giác ΔDBM=ΔFMB

FM=HE do MEHF là hình chữ nhật,

Theo đề CK=HE nên CK=DO. Suy ra  ΔNDO= ΔNKC. Vậy DN=ND hay N là trung điểm của DK