a) xét △ABI và △ACI có

∠BAC chung

∠AKC= ∠AIB (=90°)

AB=AC ( △ABC cân tại A)

=> △ABI= △ACI ( ch-gn)

=> AI=AK ( 2 cạnh tương ứng)

Mà AB=AC ( ABC là tam giác cân tại A)

=> BK=CI
b) vì △ABI= △ACI (cmt)
=> HK=HI ( 2 cạnh tương ứng)
=> △KHI cân tại H
=> ∠HKI= (180° -∠KHI)/ 2            (1)
   ta có: ∠ABI =∠ ACK ( △ABI= △ACI )
=> ∠HBC= ∠HCB
=>  △HCB cân tại H
=> ∠HCB= (180° - ∠BHC)/2          (2)
từ (1) và (2)=> ∠HKI=∠HCB ( ∠ KHI= ∠BHC - 2 góc đối đỉnh)
mặt khác  2 góc này ở vị trí so le trong 
=> IK//BC
c) ta có BI I_ AC
             CK I_ AB
=> H là trực tâm trong △ACB
=> AH I_ BC
d) áp dụng đl pitago trong △BCK vuông tại K có: BK^2 + KC^2= BC^2
                                                                           => KC^2= BC^2-BK^2
                                                                           => KC= 4(cm)