a) Chứng minh OACE là tứ giác nội tiếp.

Vì E là trung điểm của BD ⇒OE⊥BD⇒OE⊥BD (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Xét tứ giác OACE có ˆOAC+ˆOEC=900+900=1800⇒OAC^+OEC^=900+900=1800⇒ Tứ giác OACE là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).

b) Chứng minh rằng BE.BC=2R2BE.BC=2R2

Xét tam giác BOE và tam giác BCA có:

ˆABCABC^ chung;

ˆOEB=ˆBAC=900OEB^=BAC^=900;

⇒ΔBOE∽ΔBCA(g.g)⇒BEBA=BOBC⇔BE.BC=BA.BO=2R.R=2R2⇒ΔBOE∽ΔBCA(g.g)⇒BEBA=BOBC⇔BE.BC=BA.BO=2R.R=2R2

c) Chứng minh I di chuyển trên trung trực của OA.

Ta có tứ giác OACE nội tiếp ⇒⇒ Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE chính là đường tròn ngoại tiếp tứ giác OACE.

⇒⇒ Tâm I thuộc đường trung trực của OA.

Mà OA cố định ⇒⇒ Trung trực của OA cố định.

Vậy khi C di chuyển trên đường thẳng d thì tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE di chuyển trên trung trực của OA.