1)
a)Cho m,n là các số nguyên dương sao cho 5m+n chia hết cho 5n+m. Chứng minh rằng m chia hết cho n
b)Giải phương trình:
*x^2-6x+4+2 căn(2x-1)=0
*căn(x+4)+căn(x+9)-căn(x+25)=0
*x căn(x+5)=2x^2-5x
c)Giải hệ phương trình:
*(x^3-y^3)=9(x+y),x^2-y^2=3
*(x+1)^2=2y+5,(y+1)^2=2x+5
*(căn(y)+x-3)(y+căn(x))=0,x^2+y=5
2)
a)Cho phương trình x^2-2mx-m-1=0
Tìm m để x_1^2+2mx_2-m+1/(x_2^2+2mx_1-m)=2
b)Cho phương trình (x+1)(x^2+mx+2m+14)/căn(x)=0
Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thỏa:
căn(x_2^2+(m+1)x_2+2m+14)=3-căn(x_1)
c)Tìm a>=1 để phương trình ax^2+(1-2a)x+1-a=0 có hai nghiệm phân biệt thỏa x_2^2-ax_1=a^2-a-1
3)
a)Cho x,y là 2 số thực dương. CMR:
(x căn(y)+y căn (x))/(x+y)-(x+y)/2<=1/4
b)a,b là các số thực dương chứng minh:
*căn(2(a^2+b^2))+căn(2(b^2+c^2))+căn(2(c^2+a^2)>=2(a+b+c)
*(a+b)/căn(ab)+căn(ab)/(a+b)>=5/2
c)Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn điều kiện:x+y+z=4,x^2+y^2+z^2=6
Chứng minh rằng:2/3<=z<=2
d)Cho các số tự nhiên a,b,c,d bất kỳ. Chứng minh rằng tích 6 số:a-b,b-c,c-d,d-a,a-c,b-d là một số nguyên chia hết cho 12
3)
a)Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AA_1,BB_1,CC_1. Gọi K là hình chiếu của A lên A_1B_1;L là hình chiếu của B lên B_1C_1. Chứng minh rằng: A_1K=B_1L
b)Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB<AC. Gọi BE và CF là phân giác trong của tam giác ABC. Chứng minh rằng: tam giác AEF có ba góc đều nhọn.