Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ phân tích từng phần của câu hỏi.

### a) Chứng minh tứ giác AHCD là hình chữ nhật

1. **Xác định các điểm**: Trong tam giác ABC, với A là đỉnh, B và C là hai đỉnh còn lại. H là chân đường cao từ A xuống BC. I là trung điểm của AC, và D là điểm sao cho I là trung điểm của HD.

2. **Tính chất của tam giác cân**: Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A, nên AH là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến và đường phân giác.

3. **Xét tứ giác AHCD**:
- AH vuông góc với BC (bởi định nghĩa đường cao).
- I là trung điểm của AC nên AI = IC.
- D nằm trên đoạn thẳng I và H sao cho I là trung điểm của HD. Do đó, ID = IH.

4. **Chứng minh các cạnh**:
- Xét các đoạn thẳng: AH vuông góc với CD (vì H nằm trên đường cao và D nằm trên đoạn thẳng tạo thành với I, mà I là trung điểm).
- AH // DC (do ID = IH).

5. **Kết luận**: Tứ giác AHCD có hai cặp cạnh đối diện song song và các góc vuông, từ đó ta có thể kết luận rằng tứ giác AHCD là hình chữ nhật.

### b) Điều kiện để tứ giác AHCD là hình vuông

Để tứ giác AHCD là hình vuông, không chỉ cần tứ giác này là hình chữ nhật mà còn cần thêm một điều kiện:

1. **Điều kiện thêm**: Bên cạnh việc HU vuông góc với AC (một trong hai cặp cạnh đối diện), đoạn thẳng AH cũng phải bằng với đoạn thẳng AD, tức là:
\[
AH = HD
\]

2. **Ý nghĩa hình học**: Điều này có nghĩa là độ dài của các cạnh phải bằng nhau. Nếu góc tại A vẫn giữ nguyên là 90 độ, và AH = HD, thì AHCD không chỉ vuông góc mà còn có độ dài các cạnh bằng nhau, từ đó tạo thành hình vuông.