1.
Giả sử hcn ABCD nội tiếp (O)
Vì tam giác ABC vuong tại B nên nội tiếp đường tròn đường kính AC, mà đó chính là (O)
=>O là trung điểm AC
Tương tự: O là trung điểm BD
Vì chu vi hcn = 2(AB+BC) => cần tìm max AB+BC
Do tam giác ABC vuông tại B, theo Pythagoras: AB^2 + BC^2 = AC^2 = 4R^2
AD bất đẳng thức: (x-y)^2 >= 0
<=> (x+y)^2 <= 2(x^2+y^2)
<=> x+y <= √(2(x^2+y^2)) (x,y > 0)
=> AB + BC <= √(2(AB^2+BC^2)) = √8R^2 = 2R√2 không đổi
Dấu bằng xảy ra khi AB=AB <=> ABC vuông cân tại B <=> ABCD là hvuong
Vậy hcn nội tiếp có chu vi lớn nhất lf hình vuông