a) ΔABCΔ��� cân đỉnh A nên ˆABC=180o−ˆA2���^=180�−�^2

Ta có: AB=AC và BD=CE⇒AB+BD=AC+CE��=��⇒��+��=��+�� hay AD=AE��=��

⇒ΔADE⇒Δ��� cân đỉnh A⇒ˆADE=180o−ˆA2�⇒���^=180�−�^2

⇒ˆABC=ˆADE⇒���^=���^ (=180o−ˆA2)(=180�−�^2) mà chúng ở vị trí đồng vị nên BC//DE��//�� (đpcm)

b) Ta có: ˆMBD=ˆABC���^=���^ (đối đỉnh) và ˆNCE=ˆACB���^=���^ (đối đỉnh)

Mà ˆABC=ˆACB���^=���^

⇒ˆMBD=ˆNCE⇒���^=���^

Xét ΔΔ vuông MBD��� và ΔΔ vuông NCE��� có:

BD=CE��=�� (giả thiết)

ˆMBD=ˆNCE���^=���^ (cmt)

⇒ΔMBD=ΔNCE⇒Δ���=Δ��� (ch-gn)

⇒DM=EN⇒��=�� (hai cạnh tương ứng) (đpcm)

c) ΔMBD=ΔNCE⇒MB=NCΔ���=Δ���⇒��=�� (hai cạnh tương ứng)

Xét ΔABMΔ��� và ΔACNΔ��� có:

AB=AC��=��

ˆABM=ˆACN���^=���^ (do cộng với hai góc bằng nhau ˆABC=ˆACB���^=���^ ra 180^o)

MB=NC (cmt)

⇒ΔABM=ΔACN⇒Δ���=Δ��� (c.g.c)

⇒AM=AN⇒��=�� (hai cạnh tương ứng)

⇒ΔAMN⇒Δ��� cân đỉnh A�

d) Gọi đường thẳng qua B vuông góc với AM cắt AM tại H

Và đường thẳng qua C vuông góc với AN cắt AN tại K

Do ΔABM=ΔACN⇒ˆMAB=ˆNACΔ���=Δ���⇒���^=���^ (hai góc tương ứng)

⇒ˆHAB=ˆKAC⇒���^=���^

Xét ΔΔ vuông ABH��� và ΔΔ vuông ACK��� có:

AB=AC��=��

ˆHAB=ˆKAC���^=���^ (cmt)

⇒ΔABH=ΔACK⇒Δ���=Δ��� (ch-gn)

⇒AH=AK⇒��=��

Xét ΔΔ vuông AHI��� và ΔΔ vuông AKI��� có:

AI�� chung

AH=AK��=�� (cmt)

⇒ΔAHI=ΔAKI⇒Δ���=Δ��� (ch-cgv)

⇒ˆHAI=ˆKAI⇒���^=���^ (hai góc tương ứng)

⇒AI⇒�� là phân giác ˆMAN���^

Từ ˆHAI=ˆKAI���^=���^ và ˆHAB=ˆKAC���^=���^

⇒ˆHAI−ˆHAB=ˆKAI−ˆKAC⇒���^−���^=���^−���^

⇒ˆBAI=ˆCAI⇒���^=���^

⇒AI⇒�� là đường phân giác ˆBAC���^ (đpcm)