Nhận thấy p ; q ≥ 3 và nếu p ; q = 2 thì không thỏa mãn đề bài

Nếu pq + 11 số nguyên tố thì nó phải là số lẻ. Do đó nó là số nguyên tố lớn hơn 2

⇒ Ít nhất một trong hai số p và q bằng 2 (số nguyên tố chẵn)

Gỉa sử p = 2

Khi đó 7p + q = 7 . 2 + q = 14 + q

+) Nếu q = 2 thì 7p + q = 7 . 2 + 2 = 16 (không thỏa mãn đề bài)  (loại)

+) Nếu q = 3 thì 7p + q = 7 . 2 + 3 = 17 ; pq + 11 = 2 . 3 + 11 = 17 (thỏa mãn)  (chọn)

+) Nếu q = 3k + 1 (k thuộc N) thì 7p + q = 14 + 3k + 1 = 3. (k + 5) (loại)

+) Nếu q = 3k + 2 (k thuộc N) thì pq + 11 = 2q + 11 = 2 (3k + 2) + 11 = 6k + 15 = 3 (2k + 5) (loại)

⇒ p = 2 ; q = 3

Chứng minh tương tự với q = 2 ta thu được p = 3 ; q = 2

Vậy với p = 2 thì q = 3

       với p = 3 thì q = 2