a) Trong tam giác ABC, ta có: a. ΔAHB ~ ΔAMH. Từ đó suy ra AH.AH = AB.AM Ta có:

• Góc HBM bằng góc HAM (vuông góc với AB)
• Góc ABH bằng góc MAH (chung)
• Nên ΔAHB ~ ΔAMH (cùng có 2 góc bằng nhau) Từ ΔAMH ~ ΔAHB, ta có:
• AH/AB = AH/AM
• Nhân 2 vế với AH, ta được AH.AH = AB.AM

b. AB.AM = AC.AN Gọi I là giao điểm của HM và AC. Ta có:

• ΔAIM ~ ΔABC (cùng có 2 góc bằng nhau)
• Ta có AM/AI = AB/AC
• Nhân 2 vế với AM, ta được AM²/AI = AB.AM/AC
• Do đó, AM² = AB.AM.AN
• Từ đó suy ra AB.AM = AC.AN

c. Đường cao BE của ΔABC cắt AH tại K, CK cắt AB tại F. Chứng minh: EF // MN Gọi G là giao điểm của BE và AC. Ta có:

• ΔBHG ~ ΔCKN (cùng có 2 góc bằng nhau)
• HG/KN = BG/CK
• Nhân 2 vế với AB, ta được AB.HG/KN = AB.BG/CK
• Từ b. ta có AB.AM = AC.AN, nên AB/AC = AN/AM
• Nhân 2 vế với AB, ta được AB²/AC = AN.AB/AM
• Nhân vế trái với HG, vế phải với KN, ta được AB.HG/AC.KN = AN.AB.AM/BG.CK
• Do BG.CK = AB.CF, nên AB.HG/AC.KN = AN.AB.AM/AB.CF
• Từ ΔAEF ~ ΔAGC, ta có EF/CG = AF/AG
• Từ ΔAKH ~ ΔAKG, ta có KH/KG = AH/AG
• Nhân 2 vế với EF và KG, vế phải với CG và KH, ta được EF/CG = AF/AG và KH/KG = AH/AG
• Nhân 2 vế 2 phương trình trên với nhau, ta được EF/KH = AF/AH
• Từ đó suy ra EF || MN (do cả 2 đều vuông góc với AH và có 2 cặp góc đồng quy)