Để giải phương trình x^2 - 4xy + 5y^2 = 169, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thành khối vuông:
x^2 - 4xy + 5y^2 = 169 ⇔ (x - 2y)^2 + y^2 = 169
Khi đó, ta có các bộ giá trị của x và y thỏa mãn phương trình là:
(x - 2y)^2 + y^2 = 169
⇔ (x - 2y)^2 = 169 - y^2
Vì x và y là số nguyên dương nên ta có các bộ giá trị sau:
-13 ≤ y ≤ 13 và x = 2y ± √(169 - y^2)
Từ đó, ta có các nghiệm nguyên dương của phương trình là:
(x, y) = (12, 5), (8, 3), (3, 1)

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (3x^2 - 8x + 6)/(x^2 - 2x + 1), ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi:
A = (3x^2 - 6x + 2x - 8x + 6)/(x^2 - 2x + 1)
= [(3x^2 - 6x + 3) - (2x - 3)]/[(x - 1)^2]
= [3(x - 1)^2 - (2x - 3)]/[(x - 1)^2]
= 3 - (2x - 3)/[(x - 1)^2]
Vì mẫu số của A là bình phương nên ta có (x - 1)^2 > 0, do đó ta chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất của tử số:
y = 2x - 3 ⇒ y + 3 = 2x
= 2(x - 1) + 1
Do đó, ta có giá trị nhỏ nhất của y là 1. Từ đó ta có x = 2, và vì (x - 1)^2 > 0 nên giá trị nhỏ nhất của A là:
A = 3 - (2x - 3)/[(x - 1)^2]
= 3 - 1/[(x - 1)^2]
= 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2.