Để chứng minh AB.AC=AD.AE, ta cần sử dụng tính chất của đường tròn ngoại tiếp tam giác và tính chất của tứ giác nội tiếp.

Ta có:

• AB là tiếp tuyến của đường tròn (B nằm giữa A và C), nên ∠ABC = 90°.
• AD là tiếp tuyến của đường tròn (D nằm giữa A và E), nên ∠ADE = 90°.
• Đường thẳng AC cắt đường tròn (O) tại B và tại một điểm F khác A. Khi đó, ta có AB.AF = AC.FC (do AB và AC là tiếp tuyến của (O)).
• Tương tự, đường thẳng AE cắt đường tròn (O) tại D và tại một điểm G khác A. Khi đó, ta có AD.AG = AE.EG (do AD và AE là tiếp tuyến của (O)).

Áp dụng định lý Ptolemy cho tứ giác AFCB và AEDG, ta được:

• AB.AC + BC.AF = AF.AB + BF.AC ⇒ AB.AC = AF.(AB+AC-BF) (1)

• AD.AE + DG.AE = AG.AD + DE.AE ⇒ AD.AE = AE.(AG+AD-DE) (2)

Vì ∠ABC = 90° và ∠ADE = 90°, nên tứ giác ABFC và AEDG đều là tứ giác nội tiếp. Khi đó, ta có BF = FC và DE = EG.

Thay BF = FC và DE = EG vào (1) và (2), ta được:

• AB.AC = AF.(AB+AC-FC) = AF.AB
• AD.AE = AE.(AG+AD-EG) = AG.AD

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng AB.AC=AD.AE.