a) Ta có:

• Tam giác ABC vuông tại A, nên ta có đường cao AH hạ xuống cạnh BC tại H.
• Tam giác HBA cũng vuông tại H, với góc BAH bằng góc ABC (cùng là góc vuông) và góc ABH bằng góc ACB (cùng là góc nhọn).
• Do đó, theo trường hợp góc - góc - góc, ta có tam giác ABC và tam giác HBA đồng dạng với nhau.

b) Gọi độ dài cạnh AH là x.

• Ta có:
  • Diện tích tam giác ABC = 1/2 x AB x AC = 1/2 x 3 x 4 = 6cm^2
  • Diện tích tam giác ABC = 1/2 x BC x AH = 1/2 x 5 x x = 5x/2 cm^2
• Vì tam giác ABC và tam giác HBA đồng dạng, nên tỉ lệ giữa diện tích của hai tam giác này bằng bình phương tỉ lệ giữa cạnh tương ứng của chúng:
  • Diện tích tam giác ABC : diện tích tam giác HBA = AB^2 : HA^2
  • 6 : (5x/2) = 9 : x^2
  • x = 6/5 cm

Vậy độ dài cạnh AH bằng 6/5 cm.