a) Để chứng minh tứ giác APOS nội tiếp, ta cần chứng minh rằng góc AOP bằng góc ASP (vì tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi tứ giác đó có bốn góc nội tiếp).

Gọi M là trung điểm của cung BC. Ta có:

• Góc BAC bằng 60° (theo đề bài), do đó góc BMC cũng bằng 60° (do đường tiếp tuyến AB song song với BM).
• Từ đó suy ra, góc BMO bằng 90° - 60°/2 = 60°.
• Góc BOM cũng bằng 60° (vì tam giác BOM đều).
• Góc BOC bằng góc BMC + góc BOM = 60° + 60° = 120°.
• Vì O là trung điểm của đoạn thẳng BC, nên góc BOC bằng 2 góc BOC'.
• Do đó, góc BOC' bằng 120°/2 = 60°.

Giả sử tiếp tuyến tại A cắt đường tròn O tại D. Khi đó, góc AOD bằng góc BAD (vì AB là tiếp tuyến tại A) và góc ASD bằng góc CAD (vì AC là tiếp tuyến tại A). Như vậy, ta cần chứng minh rằng góc BAD = góc CAD.

Ta có:

• Góc BOC' bằng 60° (như đã chứng minh ở trên).
• Góc BAC bằng 60° (theo đề bài).
• Góc ABC bằng 180° - góc BAC - góc BCA = 180° - 60° - 90° = 30°.
• Góc ABD bằng 180° - góc ABC = 180° - 30° = 150°.
• Góc ACD bằng 180° - góc ACB = 180° - 90° = 90°.

Do đó, góc BAD = 180° - góc ABD - góc ABC = 180° - 150° - 30° = 0°, và góc CAD = 180° - góc ACD - góc BAC = 180° - 90° - 60° = 30°. Vì hai góc này bằng nhau, nên ta có tứ giác APOS nội tiếp.