a) Để rút gọn A, ta thực hiện các bước sau:

A = [(x+9)/(x+4) - x/(x-4)] : (x-5)/(x^2-16)

= [(x+9)(x-4) - x(x+4)] / (x+4)(x-4) : (x-5)/(x+4)(x-4)

= [(x^2 + 5x - 36) - (x^2 + 4x)] / (x+4)(x-4) : (x-5)/(x+4)(x-4)

= (x + 36) / (x-5)

Vậy, A = (x+36)/(x-5).

b) Để A nguyên, ta cần tìm giá trị của x sao cho (x+36)/(x-5) là một số nguyên. Ta có thể thử lần lượt các giá trị nguyên của x và kiểm tra điều kiện trên.

Với x = -4, ta có A = (x+36)/(x-5) = -40/9, không phải số nguyên.

Với x = -3, ta có A = (x+36)/(x-5) = -39/8, không phải số nguyên.

Với x = -2, ta có A = (x+36)/(x-5) = -38/7, không phải số nguyên.

Với x = -1, ta có A = (x+36)/(x-5) = -37/6, không phải số nguyên.

Với x = 0, ta có A = (x+36)/(x-5) = -36/5, không phải số nguyên.

Với x = 1, ta có A = (x+36)/(x-5) = 37/4, không phải số nguyên.

Với x = 2, ta có A = (x+36)/(x-5) = 38/3, không phải số nguyên.

Với x = 3, ta có A = (x+36)/(x-5) = 39/2, không phải số nguyên.

Với x = 4, ta có A = (x+36)/(x-5) = 40/1 = 40, là số nguyên.

Vậy, giá trị nguyên duy nhất của x để A là số nguyên là x = 4.