Xét tứ giác APOQ có:

APOˆ=900APO^=900 (Do AP là tiếp tuyến của (O) ở P)

AQOˆ=900AQO^=900 (Do AQ là tiếp tuyến của (O) ở Q)

⇒APOˆ+AQOˆ=1800⇒APO^+AQO^=1800, mà hai góc này là 2 góc đối nên tứ giác APOQAPOQ là tứ giác nội tiếp 

Xét ΔAKNΔAKN và ΔPAKΔPAK có AKPˆAKP^ là góc chung

APNˆ=AMPˆAPN^=AMP^ (Góc nội tiếp cùng chắn cung NP)
 

mà NAKˆ=AMPˆNAK^=AMP^ (so le trong của PM//AQPM//AQ)

ΔAKNΔAKN ~ ΔPKAΔPKA (góc góc) 

⇒AKPK=NKAK⇒AK2=NK.KP⇒AKPK=NKAK⇒AK2=NK.KP (điều phải chứng minh).

2.
Kẻ đường kính QS của đường tròn (O)

Ta có AQ⊥QSAQ⊥QS (AQ là tiếp tuyến của (O) ở Q)

Mà PM//AQPM//AQ (giả thiết) nên PM⊥QSPM⊥QS

Đường kính QS⊥PMQS⊥PM nên QSQS đi qua điểm chính giữa của cung PM nhỏ

sdPSˆPS^ = sdSMˆSM^ ⇒PNSˆ=SNMˆ⇒PNS^=SNM^ (hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau)

Hay NSNS là tia phân giác của góc PNMPNM.

4. Chứng minh được ΔAQO vuông ở QQ, có QG⊥AOQG⊥AO (theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

OQ2=OI.OA⇒OI=OQ2OA=R23R=13ROQ2=OI.OA⇒OI=OQ2OA=R23R=13R

⇒AI=OA−OI=3R−13R=83R⇒AI=OA−OI=3R−13R=83R

Do ΔKNQΔKNQ ~ ΔKQPΔKQP  (góc góc) 

⇒KQ2=KN.KP⇒KQ2=KN.KP

mà AK2=NK.KPAK2=NK.KP nên AK=KQAK=KQ

Vậy ΔAPQ có các trung tuyến AIAI và PKPK cắt nhau ở GG nên GG là trọng tâm

⇒AG=23AI=23.83R=169R