a) Ta có:

• Do AM < AN và BM, CN là tiếp tuyến nên góc BOM > CON
• Tương tự, góc BON > COM
• Vì O là tâm của (O) nên OB = OC = R Suy ra: góc AOB = 2góc BOM và góc AOC = 2góc CON => góc AOB > góc AOC Mà BNC là góc ngoài của tam giác AOC nên góc BNC = góc AOC => góc AOB = góc BNC

b) Ta có:

• Góc AOB = góc BNC (do a)
• OB = OC = R => Tam giác AOB và BNC đồng dạng => AO/BN = BO/BC = R/BC (độ dài 2 đoạn song song tương ứng) => AO.BC = R.BN = R.AN (do tam giác AOB và BNC đồng dạng) => AC = AO + OC = 2R => AM.AN = AI^2 - OM^2 = (OM+IN)^2 - OM^2 = 2OM.IN + IN^2
• Ta có tứ giác OMIN là hình chữ nhật nên OM = IN = R/2
• Vì AO và BC cắt nhau tại H nên theo định lí giao điểm của tiếp tuyến ta có: OH.HA = BH.HC = R^2
• Ta có: OH = OA - AH = R - AH HA = AM + MN + NA = AN + MN + NA - AM = 2AN - AM => OH = R - (2AN - AM) = AM - AN => AM - AN = R - AH = R - R^2/AH
• Áp dụng công thức ở trên ta có: AM.AN = 2OM.IN + IN^2 = R^2 => AC = 2R = (AM.AN)/R = AM.AN/(R^2/2) = AM.AN/OM^2
• Tứ giác ONMH là tứ giác nội tiếp do có 4 góc bù trùng nhau bằng góc ngoài.