Ta có:

x^4+y^4 = (x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si trong số hạng 2x^2y^2 ta có:

2x^2y^2 <= x^4/2 + y^4/2

Thay inejquation vào phần tử trên ta được:

x^4+y^4 <= (x^2+y^2)^2 - (x^4/2+y^4/2)

Áp dụng bất đẳng thức (a-b)^2 >= 0 và giải ra chúng ta có :

x^4+y^4 >= (x^2+y^2)^2/2 (1)

Áp dụng thêm bất đẳng thức AM-GM trên (x^2+y^2)/2 ta có:

(x^2+y^2)/2 >= sqrt(x^2y^2) = xy

Do đó

(x^2+y^2)^2/2 >= (x+y)^2xy/2 (2)

Kết hợp biểu thức (1) và (2) ta có:

x^4+y^4 >= (x+y)^2xy/2

Hai vế của phương trình ban đầu đều được chia cho x^2+y^2, ta được:

(x^4+y^4)/(x^2+y^2) >= [(x+y)^2xy/2]/(x^2+y^2)

Cuối cùng, ta chú ý rằng:

(x+y)^2xy/2 = xy(x^2+2xy+y^2)/2 = xy[(x+y)^2]/2 >= [(x+y)^2]/4

Do đó:

(x^4+y^4)/(x^2+y^2) >= (x+y)^2/4

Vậy, từ đó chứng minh được bất đẳng thức x^4+y^4/x^2+y^2 >= (x+y)^2/4.