Ta có:

• Góc ANO bằng góc AMO (cùng chắn cung AO )
• Góc OHA bằng góc OCA (cùng là góc ngoài của tam giác ABC).
• Góc AMO bằng góc OCA (cùng nằm trên đường tròn (O)).

Do đó, ta có góc OAN bằng góc OHA, và AN là đường chính của tam giác AOH. Từ đó suy ra AN vuông góc HN.

 Ta có:

• Góc HCB = góc HAB (vì ABHC là tứ giác nội tiếp).
• Góc HAC = góc HBC (vì ABHC là tứ giác nội tiếp).
• Góc ABH = góc AKH (vì ABHK là tứ giác nội tiếp).

Do đó, ta có hai tam giác ABH và HKM đồng dạng. Từ đó suy ra:

AB / HK = AH / HM.

Tương đương với:

AB / AH = HK / HM.

Nhưng ta cũng có:

AB / AC = AN / AM (vì tam giác ABN đồng dạng với tam giác AMC).

Do đó, ta có:

AB / AH = AN / AM.

Từ hai biểu thức trên, suy ra:

AN / AM = HK / HM.

Tức là tam giác ANM đồng dạng với tam giác HKM. Từ đó suy ra HI = HK.